学数百年来发展起来的线性数学无法使之定量化，因此始终没有达到确定性阶段。而科学是以给出精确知识为目的的，不能给出精确知识说明了现有科学在认识论方面的极大局限性。现代科学对混沌现象的定量化描述最为明显的成就是倍周期律周期倍化和分岔理论。首先是在数学上取得突破。上世纪七十年代,中国留美研究生李天岩，通过数学上的区间迭代问题的解决，得出了一个惊人的结论,这就是从有序走向混沌必须经过周期3 有了周期3就可以有一切周期，周期3就是一个分岔点，就包含了各种可能的秩序。一般来说，混沌是指没有秩序的系统状态。但是浑沌的内涵也不同，一种是没有秩序的纯粹紊乱，还有一种是确定性混沌，其中隐藏着一种特殊的秩序，它是可以建立数学模型的，并且已经找到了它的核心概念。但是不管怎样，混沌都是相对于秩序而言，因而是无序或秩序被隐藏的状态。而在确定性的混沌中，由于初始条件的微小改变，会引起不可预测的后果，所谓“差之毫厘，失之千里”。混沌之所以为混沌，就在于系统不可以由初始条件完全确定，它的演化结果是不能预测的。它超出线性科学的范围，是典型的非线性科学。一个简单的例子是湍流。你点燃一支香烟，在宁静的空气中观察烟柱的上升，就会看到一种现象烟柱在一定高度上出现震荡，而震荡是如此复杂，以至要跟踪并严格描述它几乎不可能，这就是湍流。虽然它在时间上的演化遵守严格决定性的规律，但它的行为好像是自己作主的。物理学家、生物学家、数学家们一直想了解它，而最后，终于发现了一个可用来描述它的重要概念这就是奇异吸引子。奇异吸引子代表某系统可以驻留的状态，它有两个特性一、对初始条件极其敏感，一个被奇异吸引子捕捉的系统，它的长期行为和它当初最细微的细节都有关。二、奇异吸引子和极限环不同，它是一个“分维体”。所谓“分维体”，是分形几何学中的一个重要概念关于分形的一些内容下面再作一些简要介绍现在我们来看奇异吸引子。所谓“奇异吸引子”，具有这样的特征不管我们把它的某一部分放大多少倍，它仍具有该吸引子的全盘结构。花纹里面有花纹，再里面又有花纹，一直下去，永无止境。这正是“自相似”特征。
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大自然中存在着大量自相似现象。雪花冰晶的几何图案、天上的流云、无边的海岸线、枫叶的边缘，等等，都是自相似的。无论你在怎样的几何尺度上观察，它们都具有相同的结构，也就是说，它们的宏观结构形状是微观形状的放大。与分形几何相对应的是“分维”的概念。经典物理学中，空间维数总是取整数，但这只是一种理想的近似，在量子场论的路径积分中以及在临界现象物理学中对临界点的描述中，都采用了非整数维空间。平常我们所说的二维和四维空间，实际都有小数点，而不是严格的整数。例如维或维。这表明，分形几何和“分维”的概念正在突破线性逻辑思维的框架，而更符合真实的自然。奇异吸引子就是维数是分数的吸引子。这是混沌现象的特征，混沌现象的本质，与分形几何学、与自然物体的分维特征关联在一起。大自然的演化就是如此复杂。它是自产生、自演化、自决定的，而这完全适合于混沌现象。大自然中包涵着各种混沌现象。而奇异吸引子，似乎已揭示了混沌现象最根本的特征。奇异吸引子拥有无穷多的可能性。一个动力学系统一旦被吸入一个奇异吸因子，该系统的长期未来行为就变得不可预测了。这是因为奇异吸引子对初始条件极为敏感，一点微小的变化都会带来不可预测的后果，这正是长期气象预报不可能完全准确的原因。从上个世纪八十年代开始，现代科学已经悄然发生了“范式”的转变，它正在从线性科学过渡到非线性科学，从完全确定性过渡到不确定性；从研究物质的固定形态过渡到研究系统的生成。这种过渡暗示着科学正在向后现代发展，科学正在与“道学”拉近距离。而出版于六十年代末的美国物理学家e卡普拉的现代物理学之道，已先声夺人地预示了这种转变。对混沌系统的演化能够精确到完全预测是不可能的，否则它就不是混沌现象。混沌现象之所以为混沌，就在于它不可能完全由初始条件确定。混沌作为一种物理现象，似乎只是一种物质运动。但是其中很可能掺杂着信息的传递。即使如此，它也不可能完全涵盖“道”的全部含义。在大自然中，降雨是一种很普通的现象，它的成因不过是水气在空中的输运。这可以说是一种物质运动，因此我们可以用发射火箭的办法实现人工降雨。与这种物质运动相伴随的会不会有信息的流动这个问题还尚无人涉及。宇宙自然是一个生命过程。这种生命过程，只有从整体的角度才能显现出来。从局部来看，它无非就是物质运动。正如人体，我们所看到的只是四肢五官、手和脚的运动，却没看到在它的背后是受人的意识支配的。而精神和意识，正是人体作为一个整体而活动的原因。混沌现象表明大自然是一非线性过程，而生命过程也是非线性的，生命系统是非线性系统。人体生命系统与宇宙自然一样，都是非线性过程，尤其是意识活动，它与自然世界的相互作用极为复杂，人类对意识的本质研究还远没有到位，尤其是意识与物理世界是怎样发生相互作用的，这是一个更为复杂的课题。现代科学所描述的，只是宇宙这一巨大生命体的物质层面和肢体运动，而从整体来看，间接的决定这一切的，可能正是宇宙自然的精神意识因素，这就需要我们从整体上来把握宇宙自然。
二蝴蝶效应
蝴蝶效应是美国混沌学家爱德华洛伦兹首先提出来的。1961年冬天，洛伦兹在一次科学计算时因为对初始输入数据的小数点后第四位进行了四舍五入，而造成了输出结果与上一次的迅速偏离，使前后计算结果的两条曲线相似性完全消失了。预示着一个动力系统，初始条件下微小的变化能带动整个系统的长期的巨大的连锁反应。事物发展的结果，对初始条件具有极为敏感的依赖性，初始条件的极小偏差，将会引起结果的极大差异。18年后，洛伦兹在华盛顿的美国科学促进会的一次讲演中提出在大气运动过程中，即使各种误差和不确定性很小，也有可能在过程中将结果积累起来，经过逐级放大，形成巨大的大气运动。接着，他举出了一个充满诗意后来闻名于世的例子一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，有可能会在美国的德克萨斯引起一场龙卷风。他的演讲和结论给人们留下了极其深刻的印象。从此以后，所谓“蝴蝶效应”之说就不胫而走，名声远扬了。蝴蝶效应通常用于天气，股票市场等在一定时段难于预测的比较复杂的系统中。“蝴蝶效应”在社会学界用来说明一个坏的微小的机制，如果不加以及时地引导、调节，会给社会带来非常大的危害，戏称为“龙卷风”或“风暴”；一个好的微小的机制，只要正确指引，经过一段时间的努力，将会产生轰动效应，或称为“革命”。
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此外有个故事，希望可以博读者一笑“在一本名叫西方文明的另类历史的书中，作者理查德扎克斯向我们讲述了一个这样的故事拿破仑的痔疮改变了整个世界近现代的历史进程。理查德扎克斯发现，拿破仑的痔疮实际上困扰了他一生。在滑铁卢战役期间，他的痔疮经常恶性发作，这使拿破仑这位极聪明的进攻型战略家，无法骑马外出视察军队，也无法与战地军官们商讨战争局势。特别是在最后两天，当时，那次战役仍然是有希望打赢的。有好几种材料证明，在很多时间他是用止痛的鸦片在帐篷里抽得飘飘然。这种说法如果在当时提出来可能会显得荒唐，但它至少说明一点，历史上的滑铁卢，很可能就在于那隐秘的痔疮。进一步说，十九世纪以后的历史进程，就由那颗痔疮决定。蝴蝶效应对痔疮与历史的关系，能给出合理的解释。同样，蝴蝶效应对企业的经营也能令人信服的诠释。
三模糊数学
模糊数学这门新兴学科产生于二十世纪六十年代。模糊数学是研究现实中许多界限不分明问题的一种数学工具，其基本概念之一是模糊集合。利用模糊数学和模糊逻辑，能很好地处理各种模糊问题。模式识别是计算机应用的重要领域之一。人脑能在很低的准确性下有效地处理复杂问题。如使用模糊数学，便能大大提高模式识别能力，可模拟人类神经系统的活动。在现代社会的大系统管理中，运用模糊数学的方法，有可能形成更加有效的决策。模糊数学这种相当新的数学方法和思想方法，虽有待于不断完善，但其应用前景却非常广阔。现代数学是建立在集合论的基础上。集合论的重要意义就一个侧面看，在于它把数学的抽象能力延伸到人类认识过程的深处。一组对象确定一组属性，人们可以通过说明属性来说明概念内涵，也可以通过指明对象来说明它。符合概念的那些对象的全体叫做这个概念的外延，外延其实就是集合。从这个意义上讲，集合可以表现概念，而集合论中的关系和运算又可以表现判断和推理，一切现实的理论系统都可能纳入集合描述的数学框架。但是数学的发展也是阶段性的。经典集合论只能把自己的表现力限制在那些有明确外延的概念和事物上，它明确地限定每个集合都必须由明确的元素构成，元素对集合的隶属关系必须是明确的，决不能模棱两可。对于那些外延不分明的概念和事物，经典集合论是暂时不去反映的，属于待发展的范畴。在较长时间里，精确数学及随机数学在描述自然界多种事物的运动规律中，获得显著效果。但是在客观世界中还普遍存在着大量的模糊现象。以前人们回避它，但由于现代科技所面对的系统日益复杂，模糊性总是伴随着复杂性出现。各门学科，尤其是人文、社会学科及其它“软科学”的数学化、定量化趋向把模糊性的数学处理问题推向中心地位。更重要的是，随着电子计算机、控制论、系统科学的迅速发展，要使计算机能像人脑那样对复杂事物具有识别能力，就必须研究和处理模糊性。我们研究人类系统的行为，或者处理可与人类系统行为相比拟的复杂系统，如航天系统、人脑系统、社会系统等，参数和变量甚多，各种因素相互交错，系统很复杂，它的模糊性也很明显。从认识方面说，模糊性是指概念外延的不确定性，从而造成判断的不确定性。在日常生活中，经常遇到许多模糊事物，没有分明的数量界限，要使用一些模糊的词句来形容、描述。比如，比较年轻、高个、大胖子、好、漂亮、善、热、远。在人们的工作经验中，往往也有许多模糊的东西。例如，要确定一炉钢水是否已经炼好，除了要知道钢水的温度、成分比例和冶炼时间等精确信息外，还需要参考钢水颜色、沸腾情况等模糊信息。因此除了很早就有涉及误差的计算数学之外，还需要模糊数学。人与计算机相比，一般来说，人脑具有处理模糊信息的能力，善于判断和处理模糊现象。但计算机对模糊现象识别能力较差，为了提高计算机识别模糊现象的能力，就需要把人们常用的模糊语言设计成机器能接受的指令和程序，以便机器能像人脑那样简洁灵活的做出相应的判断，从而提高自动识别和控制模糊现象的效率。这样，就需要寻找一种描述和加工模糊信息的数学工具，这就推动数学家深入研究模糊数学，所以模糊数学的产生是有其科学技术与数学发展的必然性。1965年，美国控制论专家、数学家查德发表了论文模糊集合，标志着模糊数学这门学科的诞生。模糊数学的研究内容主要有以下三个方面第一，研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、随机数学的关系。查德以精确数学集合论为基础，并考虑到对数学的集合概念进行修改和推广。他提出用“模糊集合”作为表现模糊事物的数学模型。并在“模糊集合”上逐步建立运算、变换规律，开展有关的理论研究，就有可能构造出研究现实世界中大量模糊的数学基础，能够对看来相当复杂的模糊系统进行定量的描述和处理的数学方法。在模糊集合中，给定范围内元素对它的隶属关系不一定只有“是”或“否”两种情况，而是用介于0和1之间的实数来表示隶属程度，还存在中间过渡状态。比如“老人”是个模糊概念，70岁的肯定属于老人，它的从属程度是 1，40岁的人肯定不算老人，它的从属程度为 0，按照查德给出的公式，55岁属于“老”的程度为，即“半老”，60岁属于“老”的程度。查德认为，指明各个元素的隶属集合，就等于指定了一个集合。当隶属于0和1之间值时，就是模糊集合。第二，研究模糊语言学和模糊逻辑。人类自然语言具有模糊性，人们经常接受模糊语言与模糊信息，并能做出正确的识别和判断。为了实现用自然语言跟计算机进行直接对话，就必须把人类的语言和思维过程提炼成数学模型，才能给计算机输入指令，建